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前情回顾：

埃舍尔和三位数学家的故事

跟艺术大师埃舍尔学习二元性和对称性

由巴库巴木雕师雕刻的两个桌面揭示了令人惊讶的二元性。虽然乍一看这些雕刻看起来完全不同，但仔细观察就会发现，每一件的雕刻部分恰恰是另一件的未雕刻部分。因此，在某种意义上，它们具有完全相同的对称性。我们讨论了这一观察所建议和支持的文化洞察。

1.介绍

年，DorothyWashburn走访了扎伊尔中南部(现在的刚果民主共和国)的许多村庄，研究了巴库巴王国部落制作的拉菲亚布上的图案对称性。作为那次旅行的纪念品，她委托雕刻了两个小桌面(图1，2)。卡南加的阿特·彭贝雕刻师选择了这些图案。沃什伯恩唯一的要求是他们必须来自巴库巴传统。因此，非常有趣的是，虽然他雕刻了两个被巴库巴人认为是截然不同的命名实体——Mamanye和mikobiNgoma——但从几何学和感知心理学的角度来看，它们是同一对称图案的图形/背景反转。这种对称特征被巴库巴人审美风格的文化覆盖所掩盖，图案中的对比色、线条和纹理被处理，导致Mamanye图案属于p4g对称等级，而MikobiNgoma属于pgg对称等级。事实上，正如所介绍的，这些表上的模式分别具有cmm和p2对称类型。这种分类上的差异将在第2节中与图1a和2a一起讨论。

图1:巴库巴木雕艺术Pembe雕刻的桌面上的Mamanye图案。

图2:巴库巴木雕艺术Pembe雕刻的桌面上的MikobiNgoma图案。

请注意，每一个的纹理部分都是另一个的空白部分。

来自大英博物馆的EmilTorday和T.A.Joyce的早期研究小组对巴库巴人的统治阶级Bushong使用的图案进行了大量的描述[12]。他们认识到，两个看起来完全不同的设计往往被赋予相同的名称，他们根据图案而不是设计的布局来评估图案，展示了17个图案是如何被用来产生许多不同的命名设计的。在另一本书[11:-]中，托戴讲述了一个来自中非的故事，说明了对主题的重视:“我坐下来，拿出一张旧的图片，开始仔细检查这些图片。我拿着它，这样别人也能看见它们，我注意到人群渐渐地越来越近，直到最后他们开始对他们所看到的东西发表可以听得见的评论。――很奇怪，他们似乎没有把这幅画看成一个整体，而是先认出了一张脸，然后是一顶帽子，然后是一根棍子，直到最后他们喊道，“咦，是一个人。”"

相比之下，在本文中，我们探索更多的全球数学和感性的观点如何能够将我们的注意力集中在模式的特征上，这些特征似乎是巴库巴美学体系的基础。几何分类[16]强调了巴库巴王国几个部落的图案制作者对某些对称的文化偏好。感性研究阐明了通过对比颜色、线条和纹理操纵基本图案几何形状的微妙但审慎的方式，创造了图形/背景反转，使基本几何结构产生变化，其中几个被感知为不同的命名图案。

2.几何学的观点

首先，我们必须认识到，从文化中衍生出来的一维和二维图案（与那些由计算机程序或其他未受文化影响的随机图案发生器产生的图案相反），由于它们出现在物体上的性质，是理论上存在于平面上的无限图案的截断版本。在本研究主题的雕刻平板电脑的案例中，图1和图2中的二维图案被小桌子的边缘截断了，所以只有少数重复的图案是可见的。在这些和其他大多数情况下，观看者能够成功地识别图案的对称性，尽管这种限制图案重复次数的截断有时会使人们更难发现图案布局中存在的"错误"。

例如，在图1中，仔细检查发现两个中间人字形沿着图案的底行“错误”放置。在图2中指示上下关系的条纹中也有“错误”。通常沿着样板师开始设计样板的边界可以找到这些不规则的地方，在许多巴库巴样板上都可以找到。然而，在其它的例子中，例如图3所示的布，到处都是不规则的。在那块布上有12个地方(3排，每排4个)最初看起来是四重旋转的局部中心。但事实上其中只有五个是四重中心。其他三个是双重旋转的中心，其余四个都不是。事实上，一项实地采访研究调查了世纪之交拉菲草图案的不对称性。揭示了在每个命名的图案类别中，图案形状和图案结构的大量变化是完全可以接受的。

图3：拉菲布MikobiNgoma图案，有许多“错误”，特别是在左下角。宾夕法尼亚大学大学博物馆。由Frobenius，获得)

一个相关的问题是，布局本身是倾斜的，使得作为p4g和pgg图案基础的矩形网格被有效地“拉伸”,使得尽管正方形的边保持平行，但是正方形的直角没有被保留。数学上称为“仿射变换”(非技术讨论见[5])，这种投影是一些艺术风格的高度特征，如15世纪以前的日本具象绘画，场景中的对象在画面平面上“倾斜”出现。对雕刻在杯子和盒子上以及缝在酒椰纤维布上的巴库巴图案的检查揭示了仿射变换，例如图1和图2中的两个图案，并不像它们在某些艺术风格中那样一致地出现，在这些艺术风格中它们是表征特征之一。例如，图4a和4b示出了雕刻有相同设计的两个杯子。然而，虽然90°角保留在左杯的设计中，但它们没有保留在右杯的设计中。Washburn[14]研究了菱形布局(cmm)和正方形布局(p4m)之间的感知差异，展示了制模师计算机生成的这两种对称模式，其中一种实质上是另一种的倾斜版本。虽然这些图案可以通过对称性因素相互区分，但调查者将它们归类在一起，而是

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